Allgemeine Beschreibung

\begin{matrix} a_{11} x_{1}+ a_{12}x_{2}+ \dots + a_{1n}x_{n} &=& b_{1}\\ a_{21} x_{1}+ a_{22}x_{2}+ \dots + a_{2n}x_{n}&=& b_{1} \\ \vdots \\ a_{m1} x_{1}+ a_{m2}x_{m}+ \dots + a_{mn}x_{n}&=& b_{m} \end{matrix}

	Homogenes LGS	Inhomogenes LGS
Regel	`b_{1}=\dots=b_{n}= 0` immer eine triviale Lösung `\vec x = \vec 0`	Wenn `b_{1}= \dots = b_{n}= 0` nicht erfüllt ist

Erweiterte Koeffizientenmatrix

(A|\vec b) = \left(\begin{array}{@{}c|c@{}} \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{matrix} & \begin{matrix} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots\\ b_{m} \end{matrix} \end{array} \right)

Gauß-Algorithmus

Ablauf

1.Vorwärtselimination (erreiche Zeilenstufenform)

\left(\begin{array}{@{}c|c@{}} \begin{matrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & 1 & -6 \\ 1 & 0 & -2 \end{matrix} & \begin{matrix} 0\\ 0\\ 3 \end{matrix} \end{array} \right) \rightarrow \left(\begin{array}{@{}c|c@{}} \begin{matrix} 1 & -2 & 2 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -6 \end{matrix} & \begin{matrix} 0\\ 0\\ 3 \end{matrix} \end{array} \right)

2.Lösbarkeitsentscheidung (wenn Rang < Variablen, dann freie Variablen durch `\lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots` ersetzen, so erhalten wir allgemeinen Lösungsvektor)

Rang: A = 3, somit~lösbar!

3.Rückwärtssubstitution

\begin{matrix} III: & -6 x_{3} & = & 3 & \rightarrow & x_{3} & = & \textcolor{red}{-0.5} \\ II: & -x_{2} - 2 *(\textcolor{red}{-0.5}) & = & 0 & \rightarrow & x_{2} & = & \textcolor{green}{1} \\ I: & x_{1} - \textcolor{green}{1} + 2*(\textcolor{red}{-0.5}) & = & 0 & \rightarrow & x_{1}& = & 2 \end{matrix}

Existenz von Lösungen am Rang ablesen

Lösbar wenn gilt: Rang(A | \vec b) = Rang (A) !

Drei Möglichkeiten:

Keine Lösung
Lösbar
- Eindeutig lösbar
- Unendlich viele Lösungen

Lineare Unabhängigkeit

Vektoren linear unabhängig, wenn \lambda_{1} + \vec v_{1} + \lambda_{2} \vec v_{2} + \dots + \lambda_{n}\vec v_{n}= \vec 0 nur eine Lösung hat, nämlich \lambda_{1} = \lambda_{2} = \dots = \lambda_{n} = 0
Sonst linear abhängig!

$\vec v_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$
$\vec v_{2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$
$\vec v_{3} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 &2&1 \\ 2&1&0 \\ 0&-1&2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1&2&1 \\ 0&-3&2 \\ 0&0&8 \end{pmatrix} \rightarrow Rang(A) = 3 \rightarrow linear~unabhängig$

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