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10. Grundlagen technischer Systeme/Mathematische Grundlagen und Algebra/test note.md

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+#mfi 
+
+# Allgemeine Beschreibung
+$$\begin{matrix} a_{11} x_{1}+ a_{12}x_{2}+ \dots + a_{1n}x_{n} &=& b_{1}\\ a_{21} x_{1}+ a_{22}x_{2}+ \dots + a_{2n}x_{n}&=& b_{1} \\ \vdots \\ a_{m1} x_{1}+ a_{m2}x_{m}+ \dots + a_{mn}x_{n}&=& b_{m} \end{matrix}$$
+
+|       | Homogenes LGS          | Inhomogenes LGS                                  |
+| ----- | ---------------------- | ------------------------------------------------ |
+| Regel | $b_{1}=\dots=b_{n}= 0$ immer eine triviale Lösung $\vec x = \vec 0$ | Wenn $b_{1}= \dots = b_{n}= 0$ nicht erfüllt ist | 
+
+# Erweiterte Koeffizientenmatrix
+$$(A|\vec b) = \left(\begin{array}{@{}c|c@{}} \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{matrix} & \begin{matrix} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots\\ b_{m} \end{matrix} \end{array} \right)$$
+# Gauß-Algorithmus
+## Ablauf
+### 1.Vorwärtselimination (erreiche Zeilenstufenform)
+$\left(\begin{array}{@{}c|c@{}} \begin{matrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & 1 & -6 \\ 1 & 0 & -2 \end{matrix} & \begin{matrix} 0\\ 0\\ 3 \end{matrix} \end{array} \right) \rightarrow \left(\begin{array}{@{}c|c@{}} \begin{matrix} 1 & -2 & 2 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -6 \end{matrix} & \begin{matrix} 0\\ 0\\ 3 \end{matrix} \end{array} \right)$
+
+### 2.Lösbarkeitsentscheidung (wenn Rang < Variablen, dann freie Variablen durch $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots$ ersetzen, so erhalten wir allgemeinen Lösungsvektor)
+
+$Rang: A = 3, somit~lösbar!$
+
+### 3.Rückwärtssubstitution
+$\begin{matrix} III: & -6 x_{3} & = & 3 & \rightarrow & x_{3} & = & \textcolor{red}{-0.5} \\ II: & -x_{2} - 2 *(\textcolor{red}{-0.5}) & = & 0 & \rightarrow & x_{2} & = & \textcolor{green}{1} \\ I: & x_{1} - \textcolor{green}{1} + 2*(\textcolor{red}{-0.5}) & = & 0 & \rightarrow & x_{1}& = & 2 \end{matrix}$
+
+# Existenz von Lösungen am Rang ablesen
+Lösbar wenn gilt: $$Rang(A | \vec b) = Rang (A)$$
+![[Existenz von Lösungen am Rang ablesen.png]]
+
+Drei Möglichkeiten:
+- Keine Lösung
+- Lösbar
+	- Eindeutig lösbar
+	- Unendlich viele Lösungen
+
+# Lineare Unabhängigkeit
+- Vektoren linear unabhängig, wenn $$\lambda_{1} + \vec v_{1} + \lambda_{2} \vec v_{2} + \dots + \lambda_{n}\vec v_{n}= \vec 0$$ nur eine Lösung hat, nämlich $\lambda_{1} = \lambda_{2} = \dots = \lambda_{n} = 0$
+- Sonst linear abhängig!
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+```ad-example
+$\vec v_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$
+$\vec v_{2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$
+$\vec v_{3} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$
+
+$\begin{pmatrix} 1 &2&1 \\ 2&1&0 \\ 0&-1&2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1&2&1 \\ 0&-3&2 \\ 0&0&8 \end{pmatrix} \rightarrow Rang(A) = 3 \rightarrow linear~unabhängig$
+```
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